「離散数学」の解説

数と表現

自然界において、物理的な重さや長さ、時間といった指針による、連続した値は「アナログ」と呼ばれています。これに対して、個数をはじめとした離散的な量による表現は「デジタル」と呼ばれています。

コンピュータは、ある＝1、ない＝0、といったように、1と0によって値を表現する2進数デジタルの処理を得意としています。2進数で表現される1桁の値は「ビット（bit）」と呼ばれます。ビットは「binary digit」の略です。

数字やアルファベットなどの文字情報を表現するためには、2の8乗＝256通りとなる8ビットでひとつの文字を作ります。この8ビットは「バイト（byte）」という単位でまとめて扱われます。

日本語の場合、カナや漢字など多数の文字が用いられるため、1バイトで表現しきることができません。そのため、通常はカナや漢字は2バイトで表現されています。2バイト使用すると2の16乗＝65536通りの文字を表現できます。

ビットとバイトは、アルファベット表示だと両方「b」が頭文字となりますが、通例として、ビットを小文字の「b」、バイトを大文字の「B」で書き分け、それぞれ略号としています。

基数変換

2進法の表現は人間にとっては理解しづらいものです。人間が2進数を扱う場合、一般的には、主に使用している10進法へと変換する方法が用いられます。このような、ある進数から別の進数へと変換する作業は「基数変換」と呼ばれます。

符号付き2進数

2進数で負の数を扱う場合「符号付き2進数」を用います。符号付き2進数では、最上位のビットが「0」の場合が＋で、「1」の場合が−です。

2進数の加算、演算

2進数の加算、演算を行う場合、桁を揃えて下の桁から計算します。

集合

ある条件に基づいてグループ化されたデータの集まりを「集合」と呼びます。「AまたはB」といったように言葉や文章で表現することができます。こうした表現方法は「命題」と呼ばれています。また、命題された集合は「ベン図」により図式化することが可能です。

論理演算

論理演算はベン図と「真理値」で表すと分かりやすくなります。AとBが共に「0（偽）」と「1（真）」の値しかとらないとすれば、その組み合わせは全部で4通りとなります。この組み合わを表にしたものが真理値表と呼ばれるものと、「否定（NOT）」、「論理積（AND）」、「論理和（OR）」、「排他的論理和（EORまたはXOR）」となります。